ความเร่งใน Special Relativity

\begin{aligned}
u' &= \frac{u - v}{1 - vu/c^2} \\
\frac{du'}{du} &= \frac{1}{\gamma^2(1 - vu/c^2)^2} \\
\frac{du'}{dt'} &= \frac{du/dt'}{{\gamma^2(1 - vu/c^2)^2}}
\end{aligned}

เส้นทางของวัตถุที่ถูกเร่ง a ในเฟรมเฉื่อยคือ

r^2 - (ct)^2 = (\frac{c^2}{a})^2

จัดสมการใหม่ในรูป

(ct)^2 - r^2 = -(\frac{c^2}{a})^2

และเขียน ct และ r ในรูป hyperbolic function

ct = \frac{c^2}{a}\sinh \eta, r = \frac{c^2}{a}\cosh \eta 

จะสอดคล้องกับสมการ

(\frac{c^2}{a})^2(\cosh^2\eta - \sinh^2\eta) = (\frac{c^2}{a})^2

สมการ () อยู่ในฟอร์มเดียวกับ flat space

ds^2 = (ct)^2 - r^2 = -(\frac{c^2}{a})^2

ซึ่งแยกองค์ประกอบได้เหมือนเดิม

ds^2 = (cdt)^2 - dr^2 = (cdt-dr)(cdt+dr)=uv

โดยนิยาม uv ตามที่ผ่านมาและจากสมการ () จะได้

u = ct-x = \frac{c^2}{a}(\sinh\eta - \cosh\eta)=-\frac{c^2}{a}e^{-\eta}
v = ct+x = \frac{c^2}{a}(\sinh\eta + \cosh\eta)=\frac{c^2}{a}e^{\eta}

ให้ $\xi = \frac{c^2}{a}$

ct = \xi\sinh\eta, r = \xi\cosh\eta
cdt = \xi\dfrac{\partial \sinh}{\partial \eta}d\eta + \sinh\eta\dfrac{\partial \xi}{\partial \xi}d\xi
Facebook Comments Box
จรัสพรรณ เปรมปรีบุตร