S = c + k_B\ln \Omega
ถ้าเราแบ่งปริมาตร V เป็นปริมาตรเล็กๆ ΔV จะได้จำนวนปริมาตรย่อยๆเป็น V/ΔV เรามีอนุภาค N ตัวซึ่งสามารถใส่ลงในเซลล์ได้ทั้งหมด (V/ΔV)N วิธี ซึ่งจะได้
S = c + Nk_B \ln \Omega
เทคนิคในการหา Ω
\Omega = {\footnotesize\text{ปริมาตรกล่อง x ปริมาตรในโมเมนตัม} \over \footnotesize\text{ปริมาตรที่เล็กที่สุด} }
ในขณะที่ตำแหน่งของอนุภาคในสเปซปกติจะอยู่ที่ใดก็ได้แต่อนุภาคที่มีพลังงาน E ตำแหน่งขององค์ประกอบของโมเมนตัมทั้งสามจะถูกบังคับให้อยู่บนผิวทรงกลมในโมเมนตัมสเปซ
\begin{aligned} E &= \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2 ) = {P^2 \over 2m} \\ P &= \sqrt{2mE} \end{aligned}
ดังนั้นจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ของอนุภาคจะเป็น
\begin{aligned} \Omega &= {\footnotesize\text{ปริมาตรกล่อง x พื้นที่ผิวทรงกลมในโมเมนตัมสเปซที่มีรัศมี P} \over \footnotesize\text{ปริมาตรที่เล็กที่สุด} } \\ &= { VA_p(E) \over \Delta v} \end{aligned}
เพราะว่ารัศมี P ขึ้นกับ E ดังนั้นพื้นที่ผิวจึงขึ้นกับพลังงาน E, จำนวนวิธีในการวางหนึ่งอนุภาคลงเป็น configuration space คือ
\Omega_1 = { V \over \Delta v}.4\pi P^2
แต่หากมีสองอนุภาคจำนวนมิติในโมเมนตัมสเปซจะเป็น 6 โดย E จะเป็นพลังงานรวมของอนุภาคทั้งสองคราวนี้ตำแหน่งขององค์ประกอบทั้ง 6 จะถูกบังคับให้อยู่บนพื้นผิวทรงกลมใน 6 มิติ
\begin{aligned} E &= {P^2 \over 2m} = \frac{1}{2m}(\underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(1)} + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{2} ) \\ P &= \sqrt{2mE} \end{aligned}
โดยที่ P เป็นรัศมีทรงกลมใน 6 มิติรวมทั้งพื้นที่ผิวทรงกลมจะเป็นพื้นที่ใน 6 มิติเช่นกัน สูตรทั่วไปในการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี R ใน N มิติคือ
A_N = { 2\pi^{N/2}\over (\frac{N}{2} - 1)! }R^{N-1}
เช่นในสองมิติ $A_2 = 2\pi R$ หรือรัศมีทรงกลม ในสามมิติ $A_3 = 4\pi R^2$
หากมีสองอนุภาคจำนวนวิธีในการวางอนุภาคลงใน configuration space ก็จะเป็น
\begin{aligned} \Omega_2 &= ({ V \over \Delta v})^2.\footnotesize{\text{พื้นที่ผิวในโมเมนตัมสเปซ 6 มิติ}} = \normalsize({ V \over \Delta v})^2.{2\pi^3 \over 2}P^5 \\ &= ({ V \over \Delta v})^2.{2\pi^3 \over 2}(2mE)^{5/2} \end{aligned}
ดังนั้นหากมี N อนุภาค
\begin{aligned} E &= \frac{1}{2m}(\underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(1)} + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(2)} + ... + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(N)} ) = {P^2 \over 2m} \\ P &= \sqrt{2mE} \end{aligned}
เซตขององค์ประกอบของโมเมนตัม ( px1 , py1 , pz1 , … , pxN , pyN , pzN ) จะอยู่บน “ผิว” ของทรงกลมที่มีรัศมี P จะมีพลังงาน E เท่ากัน และสังเกตว่าจำนวนมิติในโมเมนตัมสเปซจะเป็นสามเท่าของจำนวนอนุภาค
\Omega_N = ({ V \over \Delta v})^N . { 2\pi^{3N/2}\over (\frac{3N}{2} - 1)! }P^{3N-1}
เพราะว่าจำนวนอนุภาคมีมากมายมหาศาล 3N-1 ประมาณ 3N และ P เป็นสัดส่วนกับ E ที่เหลือเป็นค่าคงที่เราสรุปง่ายๆได้ว่า
\Omega_N \propto V^N E^{3N/2}
วิธีการของ Boltzmann

- การวาดกราฟหลายอันและ setting ต่างๆที่เกี่ยวกับ axis ใน matplotlib - May 24, 2022
- การใช้ Virtual Environment ใน python - May 19, 2022
- ติดตั้งและรัน python/jupyter notebook แบบพื้นๆ - May 18, 2022