เอนโทรปี

S = c + k_B\ln \Omega

ถ้าเราแบ่งปริมาตร V เป็นปริมาตรเล็กๆ ΔV จะได้จำนวนปริมาตรย่อยๆเป็น V/ΔV เรามีอนุภาค N ตัวซึ่งสามารถใส่ลงในเซลล์ได้ทั้งหมด (V/ΔV)N วิธี ซึ่งจะได้

S = c + Nk_B \ln \Omega

เทคนิคในการหา Ω

\Omega = {\footnotesize\text{ปริมาตรกล่อง x ปริมาตรในโมเมนตัม} \over \footnotesize\text{ปริมาตรที่เล็กที่สุด}   }

ในขณะที่ตำแหน่งของอนุภาคในสเปซปกติจะอยู่ที่ใดก็ได้แต่อนุภาคที่มีพลังงาน E ตำแหน่งขององค์ประกอบของโมเมนตัมทั้งสามจะถูกบังคับให้อยู่บนผิวทรงกลมในโมเมนตัมสเปซ

\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2 ) = {P^2 \over 2m} \\
P &= \sqrt{2mE}
\end{aligned}

ดังนั้นจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ของอนุภาคจะเป็น

\begin{aligned}
\Omega &= {\footnotesize\text{ปริมาตรกล่อง x พื้นที่ผิวทรงกลมในโมเมนตัมสเปซที่มีรัศมี P} \over \footnotesize\text{ปริมาตรที่เล็กที่สุด}   } \\
&= {  VA_p(E) \over \Delta v}
\end{aligned}

เพราะว่ารัศมี P ขึ้นกับ E ดังนั้นพื้นที่ผิวจึงขึ้นกับพลังงาน E, จำนวนวิธีในการวางหนึ่งอนุภาคลงเป็น configuration space คือ

\Omega_1 = {  V \over \Delta v}.4\pi P^2

แต่หากมีสองอนุภาคจำนวนมิติในโมเมนตัมสเปซจะเป็น 6 โดย E จะเป็นพลังงานรวมของอนุภาคทั้งสองคราวนี้ตำแหน่งขององค์ประกอบทั้ง 6 จะถูกบังคับให้อยู่บนพื้นผิวทรงกลมใน 6 มิติ

\begin{aligned}
E &= {P^2 \over 2m}  = \frac{1}{2m}(\underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(1)} + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{2} ) \\
P &= \sqrt{2mE}
\end{aligned}

โดยที่ P เป็นรัศมีทรงกลมใน 6 มิติรวมทั้งพื้นที่ผิวทรงกลมจะเป็นพื้นที่ใน 6 มิติเช่นกัน สูตรทั่วไปในการหาพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี R ใน N มิติคือ

A_N = { 2\pi^{N/2}\over (\frac{N}{2} - 1)! }R^{N-1} 

เช่นในสองมิติ $A_2 = 2\pi R$ หรือรัศมีทรงกลม ในสามมิติ $A_3 = 4\pi R^2$

หากมีสองอนุภาคจำนวนวิธีในการวางอนุภาคลงใน configuration space ก็จะเป็น

\begin{aligned}
\Omega_2 &= ({  V \over \Delta v})^2.\footnotesize{\text{พื้นที่ผิวในโมเมนตัมสเปซ 6 มิติ}} = \normalsize({  V \over \Delta v})^2.{2\pi^3 \over 2}P^5  \\
&= ({  V \over \Delta v})^2.{2\pi^3 \over 2}(2mE)^{5/2}
\end{aligned}

ดังนั้นหากมี N อนุภาค

\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2m}(\underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(1)} + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(2)} + ... + \underbrace{p_x^2 + p_y^2 + p_Z^2}_{(N)} ) = {P^2 \over 2m} \\
P &= \sqrt{2mE}
\end{aligned}

เซตขององค์ประกอบของโมเมนตัม ( px1 , py1 , pz1 , … , pxN , pyN , pzN ) จะอยู่บน “ผิว” ของทรงกลมที่มีรัศมี P จะมีพลังงาน E เท่ากัน และสังเกตว่าจำนวนมิติในโมเมนตัมสเปซจะเป็นสามเท่าของจำนวนอนุภาค

\Omega_N = ({  V \over \Delta v})^N . { 2\pi^{3N/2}\over (\frac{3N}{2} - 1)! }P^{3N-1} 

เพราะว่าจำนวนอนุภาคมีมากมายมหาศาล 3N-1 ประมาณ 3N และ P เป็นสัดส่วนกับ E ที่เหลือเป็นค่าคงที่เราสรุปง่ายๆได้ว่า

\Omega_N \propto V^N E^{3N/2}

วิธีการของ Boltzmann

A, B, C และ D ต่างกัน และลำดับก่อนหลังในแต่ละชั้นไม่มีความสำคัญ
Facebook Comments Box
จรัสพรรณ เปรมปรีบุตร